Societatea de Stiinte Matematice din Romania - Filiala Vaslui

sâmbătă, 23 aprilie 2016

Concurs de logicǎ și perspicacitate “Iorgu Radu” Ediția a XI-a, 16.04.2016 - SOLUTII SI BAREME

Concurs de logicǎ și perspicacitate “Iorgu Radu”
Ediția a XI-a, 16.04.2016
Clasele III-IV
Soluții și bareme
1.      Perimetrul figurii
Din fiecare colț al unui dreptunghi cu lungimea de 15 cm și lǎțimea de 9 cm se taie câte un pǎtrat având perimetrul de 8 cm. Care este perimetrul figurii rǎmase?
prof. Dumitru Popa
Soluție și barem
Oficiu:…………………………………………………………………………………………..1p
Desenarea dreptunghiului ABCD și a celor 4 pǎtrate din colțuri………………………………3p
Fie observǎ cǎ ȋn pǎtratul AMNP, AM+AP=NM+NP; fie pune 2 cm pe fiecare dintre laturile celor 4 pǎtrate…………………………………………………………………………………....3p
Finalizarea, perimetrul figurii rǎmase = 48 cm…………………………………………………3p

2.      La un concurs de logicǎ
Participând la un concurs de logicǎ și perspicacitate care conținea 28 de ȋntrebǎri, un elev a obținut 103 puncte. Regulamentul concursului prevedea cǎ la fiecare rǎspuns corect se acordǎ 7 puncte, la fiecare rǎspuns greșit se pierd 5 puncte, iar la ȋntrebǎrile la care nu se dǎ nici un rǎspuns nici nu se câștigǎ și nici nu se pierde. Ştiind cǎ elevul nu a dat nici un rǎspuns la 3 ȋntrebǎri, calculați care este numǎrul de ȋntrebǎri la care a rǎspuns corect.
ȋnv. Rodica Rotaru
Soluție și barem
Oficiu:……………………………………………………………………………………………1p
Elevul a dat rǎspunsuri la 28-3=25 ȋntrebǎri……………………………………………………..2p
 Dacǎ la toate cele 25 ȋntrebǎri ar fi rǎspuns corect ar fi primit 25x7=175 puncte. ……………..2p
La un rǎspuns greșit elevul pierde 7+5=12 puncte………………………………………………2p
175-103  = 72 puncte pierdute ȋn total. ………………………………………………………….1p
72:12 = 6 ȋntrebǎri cu rǎspuns greșit. ……………………………………………………………1p

Deci 25-6 = 19 ȋntrebǎri cu rǎspuns corect………………………………………………………1p

1.      Turnul de zaruri
16 zaruri sunt așezate unul peste altul, ca ȋn figura alǎturatǎ. Care poate fi valoarea sumei numerelor de pe fețele orizontale care nu se vǎd? Justificați. Aflați toate soluțiile.
ȋnv. Georgeta Moldoveanu


Soluție și barem
Oficiu:……………………………………………………………………………………………1p
Suma numerelor de pe  douǎ fețe opuse ȋntr-un zar este 7………………………………………2p
 Din cele 16 zaruri, 15 au ambele fețe orizontale care nu se vǎd. Prin urmare suma fețelor orizontale ale celor 15 cuburi este 15x7= 105. Pentru zarul de deasupra nu se vede una dintre fețele orizontale, cealaltǎ fațǎ orizontalǎ se vede………………………………………………1p
Existǎ 6 cazuri- pentru fiecare caz ……………………………………………......câte 1p, total 6p
I.                   Pe fața de sus e numǎrul 1; atunci suma fețelor care nu se vǎd ale celor 16 zaruri este 105 + (7-1)=111
II.                Pe fața de sus e numǎrul 2; atunci suma fețelor care nu se vǎd ale celor 16 zaruri este 105 + (7-2)=110
III.             Pe fața de sus e numǎrul 3; atunci suma fețelor care nu se vǎd ale celor 16 zaruri este105 + (7-3)=109
IV.             Pe fața de sus e numǎrul 4; atunci suma fețelor care nu se vǎd ale celor 16 zaruri este 105 + (7-4)=108
V.                Pe fața de sus e numǎrul 5; atunci suma fețelor care nu se vǎd ale celor 16 zaruri este 105 + (7-5)=14107
VI.             Pe fața de sus e numǎrul 6; atunci suma fețelor care nu se vǎd ale celor 16 zaruri este 105 + (7-6)=106


2.      (Problema de departajare): Culorile numerelor
Un elev așeazǎ cinci culori pe masǎ, una lângǎ alta ȋn ordinea: roșu, galben, albastru, verde și negru. Începe sǎ numere astfel: roșu este 1, galben este 2, albastru este 3, verde este 4, negru este 5 și apoi ȋn sens invers, verde este 6, albastru este 7, galben este 8, roșu este 9, galben este 10 și așa mai departe. Sǎ se calculeze pe ce culoare cade 2016.
ȋnv. Anișoara Mihai
Soluție și barem
Oficiu:……………………………………………………………………………………………1p
Notǎm numele culorilor cu inițialele lor și numǎrǎm conform indicațiilor
………………………………………………………………………………………………..1p
Observǎm cǎ numerele de pe culoarea roșie se repetǎ din 8 ȋn 8…………………………....3p
Prin urmare numerele de pe culoarea roșie sunt de forma 8 x c + 1 și cum numǎrul 2017 este de forma 8 x 252 + 1, rezultǎ cǎ 2017 este roșu……………………………………………3p
La numerele roșii se ajunge de la un numǎr galben și de la numerele roșii se pleacǎ la numerele galbene, de aceea 2016 este un numǎr galben…………………………………....2p

Notǎ: Orice soluție corectǎ și completǎ diferitǎ de soluția prezentatǎ ȋn barem va fi notatǎ cu maximum de punctaj.
Concurs de logicǎ și perspicacitate “Iorgu Radu”
Ediția a XI-a, 16.04.2016
Clasele V-VI
Soluții și bareme

1.      Douǎ clepsidre
Dacă aveți două clepsidre, una care poate măsura un interval de 7 minute şi alta care poate măsura 11 minute, cum le puteți folosi pentru a măsura un interval de 15 minute?
prof. Victor Ailioaei
Soluție și barem
Oficiu…………………………………………………………………………………………….1p
Pentru măsurarea timpului de 15 minute pornim simultan cele două clepsidre…………………3p
 După 7 minute prima clepsidră s-a golit. Din acel moment clepsidra a doua va măsura 4 minute până la  terminarea nisipului……………………………………………………………………3p
 Întorcând clepsidra mare şi continuând măsurătoarea, va mai măsura încă 11 minute, adică în total 4 minute + 11 minute = 15 minute………………………………………………………..3p

  1. Mǎsurarea apei
Dacă  aveți la dispoziție un vas de 8 l plin cu apă și alte două vase goale de 5 l  și respectiv   3 l ,  cum putem separa 4 l  de apă fără a arunca din apa folosită?
prof. Victor Ailioaei
Soluție și barem
Oficiu…………………………………………………………………………………………….1p
Fiecare linie din tabel ȋncepând cu a treia ……………………………..câte 1,5p ȋn total………9p

Vasul de 8 litri
Vasul de 5 litri
Vasul de 3 litri
8 l
0 l
0 l
3 l
5 l
0 l
3 l
2 l
3 l
6 l
2 l
0 l
6 l
0 l
2 l
1 l
5 l
2 l
1 l
4 l
3 l


  1. Prețul ciocolatei
Alexandra, Mihaela şi Daniela au respective 3, 4, 6 ciocolate identice. Rodica nu are nici o ciocolată. Cele patru prietene consumă în mod egal toată ciocolata. Rodica lasǎ 13 lei pentru ciocolata mâncatǎ de ea.
a)      Cât costǎ o ciocolata?
b)      Câți lei primește fiecare dintre fetele care aveau cicolatǎ?
                                                                                                              prof. Dumitru Popa
Soluție și barem
Oficiu…………………………………………………………………………………………….1p
a)      Impartim fiecare ciocolata in 4 sferturi pentru ca sunt 4 fete. Atunci Alexandra va
 avea 3x4 =12 sferturi, Mihaela va avea 4x4=16 sferturi, Daniela va avea 6x4=24 sferturi.
In total cele 3 fete vor avea 12+16+24=52 sferturi. Aceste 52 de sferturi de ciocolata sunt mancate in mod egal de cele 4 fete, deci fiecare fata mananca cate 13 sferturi………………..4p
Rodica plateste pentru cele 13 sferturi pe care le mananca 13 lei, deci un sfert de ciocolata costa 1 leu si atunci o ciocolata costa 4 lei……………………………………………………………..2p
b)      Din cele 24 sferturi ale ei, Daniela mǎnâncǎ 13 sferturi și ȋi dǎ diferența de 11 sferturi Rodicǎi, și cum un sfert de cicolatǎ costǎ 1 leu, Daniela va primi 11 lei. Sau Daniela ȋi poate da doar 10 sferturi de ciocolatǎ Rodicǎi și ar primi atunci 10 lei……………1p
Din cele 16 sferturi ale ei, Mihaela mǎnâncǎ 13 sferturi și ȋi dǎ din diferența de 3 sferturi, 2 sferturi Rodicǎi, și cum un sfert de cicolatǎ costǎ 1 leu, Mihaela va primi 2 lei. Sau Mihaela ȋi poate da 3 sferturi de ciocolatǎ Rodicǎi și ar primi atunci 3 lei. ………………………………………………………………………………………1p
Alexandra are doar 12 sferturi, deci pentru a mânca ȋn mod egal, trebuie sǎ primeascǎ 1 sfert fie de la Daniela, dacǎ aceasta primește 10 lei, fie de la Mihaela, dacǎ aceasta primeȚte 2 lei. Şi ȋntr-un caz și ȋn celǎlalt Alexandra nu doar cǎ nu primește nici un leu de la Rodica, dar rǎmâne datoare cu 1 leu fie Danielei fie Mihaelei (depinde de la care primește sfertul de cicolatǎ)…………………………………………………….1


2.      (Problema de departajare):Numǎrul mașinii
Fǎcând o plimbare prin oraș 3 elevi au observat cǎ șoferul unei mașini a ȋncǎlcat regulile de circulaÎie. Nici unul dintre ei nu a memorat numǎrul mașinii format din 4 cifre. Totuși primul elev a observat cǎ primele douǎ cifre erau identice. Al doilea elev și-a amintit cǎ ultimile douǎ cifre erau identice. Cel de al treilea elev afirmǎ cǎ numǎrul mașinii era pǎtrat perfect. Ajutați-i sǎ reconstituie numǎrul mașinii pe baza acestor indicații.
prof. Marcel Rotaru
Soluție și barem
Oficiu…………………………………………………………………………………………….1p
                                                                                    ____
Conform indicațiilor numǎrul mașinii este de forma aabb = 1100a+11b= 11(100a+b)................2p
Cum numǎrul mașinii este și pǎtrat perfect și divizibil cu 11, de unde numǎrul mașinii trebuie sǎ fie divizibil cu 121, atunci 100a+b este divizibil cu 11................................................................1p
 Cum 100a+b=99a+a+b, de unde a+b trebuie sǎ fie divizibil cu 11, deci a+b=11.......................1p
 Cum numǎrul mașinii este pǎtrat perfect, b nu poate fi decât 0;1;4;5;6;9...................................1p
 Dar dacǎ b ar fi 0 sau 1 atunci a nu ar fi cifrǎ. Rǎmân perechile de numere
b=4 și a=7; b=5 și a=6;  b=6 și  a=5; b=9 și a=2.
Atunci numǎrul trebuie cǎutat printre urmǎtoarele 4 numere: 7744;6655;5566;2299.................2p
Cum  6655 este divizibil cu 5,  dar nu este divizibil cu 25; 5566 este divizibil cu 2,  dar nu este divizibil cu 4, 2299 este divizibil cu 19,  dar nu este divizibil cu 361. Atunci numerele 6655,5566,2299 nu sunt pǎtrate perfecte.
Numǎrul 7744 este pǎtratul lui 88, atunci numǎrul mașinii este 7744.......................................2p
Notǎ: Orice soluție corectǎ și completǎ diferitǎ de soluția prezentatǎ ȋn barem va fi notatǎ cu maximum de punctaj.


Concurs de logicǎ și perspicacitate “Iorgu Radu”
Ediția a XI-a, 16.04.2016
Clasele VII-VIII
Soluții și bareme
1.      Gazele de șist
Pentru explorarea gazului de șist o sondǎ folosește 1000 m3 de apǎ. Apa folositǎ este depozitatǎ ȋntr-un rezervor ȋn formǎ de paralelipiped dreptunghic.
a)      Dați 3 exemple de triplete de numere naturale care pot fi dimensiunile acestui paralelipiped dreptunghic. ( cele 3 dimensiuni sunt exprimate ȋn metri).
b)      În ce caz (dar nu neapǎrat dintre cele gǎsite la punctul a) suma celor 3 dimensiuni este   
minimǎ?
c)      Generalizați rezultatul de la punctul b).
prof. Vasile Țugulea
Soluție și barem
Oficiu…………………………………………………………………………………………….1p
a)      Volumul paralelipipedului dreptunghic este V= L·l·h;…………………………………1p
De exemplu: (10, 10, 10); (10, 5, 20); (4, 25, 10),
sau orice alte 3 triplete care ȋndeplinesc condiția ca produsul numerelor sǎ fie 1000……………………………………………………………………………………..3p
b)      Suma celor trei dimensiuni este minimǎ dacǎ dimensiunile sunt egale………………..2p
c)      Generalizare: dacǎ produsul unor numere naturale nenule este constant, atunci suma numerelor este minimǎ când numerele sunt egale. Demonstrație cu egalitatea mediilor………………………………………………………………………………..3p 
1.      18 bile
Un elev inteligent are 18 bile de aceeași mǎrime și culoare. Dintre ele doar una este mai ușoarǎ decât celelalte. Având la dispoziție doar o balanțǎ el reușește sǎ gǎseascǎ bila ușoarǎ doar din 3 cântǎriri. Fiți la fel de inteligenți și gǎsiți și voi bila ușoarǎ dupǎ 3 cântǎriri.
prof. Lazar Mardare

Soluție și barem
Oficiu…………………………………………………………………………………………….1p
Se fac 2 grupe de câte 9 bile care se pun pe cele 2 talere ale balanței. Vom afla astfel care este grupa ȋn care se gǎsește bila mai ușoarǎ………………………..………………………3p
Se ȋmparte grupa cu bila mai ușoara ȋn 3 grupe de câte 3 bile, douǎ dintre aceste 3 grupe se pun pe talere balanței. Vom afla din nou grupa cu bila mai ușoarǎ………………………….3p
Dintre cele 3 bile aflate ȋn grupa cu bila mai ușoarǎ, 2 se pun pe talerele balanței. Vom afla astfel bila mai ușoarǎ……………………………………………………………………......3p


2.      Dorel la cumpǎrǎturi
Dorel a cumpărat de la magazinul sportiv o paletă de tenis, o undiţă şi o minge de fotbal, plătind 240 lei. El constată că preţul paletei reprezintă un sfert din preţul undiţei, iar mingea de fotbal a costat de 3 ori mai mult decât celelalte două obiecte la un loc. Câţi lei a plătit pentru fiecare obiect în parte ?
prof. Victor Ailioaei
Soluție și barem
Oficiu…………………………………………………………………………………………….1p
Notăm cu P, M, U  preţul unei palete de tenis, preţul unei mingi de fotbal şi preţul unei undiţe de pescuit.

1.      (Problema de departajare): Cicliștii amatori
Andrei și Bogdan sunt cicliști amatori și locuiesc ȋn localitǎțile A și respectiv B. Într-o zi de vacanțǎ stabilesc sǎ plece ȋn același moment unul cǎtre celalalt. Ei se ȋntâlnesc prima datǎ la 5km fațǎ de A, se salutǎ din mers și-si continuǎ drumul. Ajungând fiecare ȋn localitatea celuilalt nu fac nici un popas ci pornesc imediat ȋnapoi și se ȋntâlnesc a doua oarǎ la 3 km de localitatea B. De aceasta datǎ se opresc și ȋncearcǎ sǎ calculeze care este distanța dintre cele douǎ puncte de pe șosea ȋn  care s-au ȋntâlnit. Ajutați-i! Precizǎm cǎ fiecare dintre ei și-a pǎstrat viteza proprie de deplasare indiferent de sensul de mers.
prof. Marcel Rotaru
Soluție și barem
Oficiu…………………………………………………………………………………………….1p
Deoarece ambii cicliști merg aceeași perioadǎ de timp, rezultǎ raportul distanțelor parcurse pânǎ la prima ȋntâlnire este egal cu raportul distanțelor parcurse ȋntre cele 2 ȋntâlniri.

                
           De unde x2 + 9x + 18 = 5x + 50, rezultǎ x2 + 4x – 32 = 0………………………………3p
           (x2 + 4x + 4) – 36 = 0
          (x+2)2 – 36 = 0
         (x + 8)(x - 4) = 0
         Singura soluție acceptabilǎ este x = 4.  …………………………………………………..3p

Notǎ: Orice soluție corectǎ și completǎ diferitǎ de soluția prezentatǎ ȋn barem va fi notatǎ cu maximum de punctaj.

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu